Est-il possible de hiérarchiser les infinis ? Par exemple, l'infini de l'ensemble Z est-il plus grand que celui de N ?
Cette question ne veut peut-être rien dire, mais je suis à l'écoute de toute contestation ou précision :)
#maths #mathematics
@nzau Les ensembles ℕ et ℤ sont traditionnellement considérés de la même taille, ce qui peut paraître un peu paradoxal au début étant donné que ℕ est strictement inclus dans ℤ. En fait, c'est parce que ℕ et ℤ sont en bijection : il y a un moyen d'associer à chaque élément de ℕ un unique élément de ℤ, et tous les éléments de ℤ peuvent être associés à un élément de ℕ. Dit autrement, on peut "compter" les éléments de ℤ, on dit que c'est un ensemble dénombrable¹.
@nzau Et tous les ensembles dénombrables sont considérés de la même taille, même si certains sont inclus dans d'autres. C'est moins facile à voir, mais en fait ℚ est aussi dénombrable, donc il a la même taille que ℕ. Par contre ℝ et ℂ sont indénombrables, c'est à dire qu'on ne peut pas les mettre en bijection avec ℕ. Ça veut dire qu'il y a vraiment beaucoup plus de nombres réels que de nombres entiers !
@erou @oscarascal merci pour vos réponses !
Dans la continuité, pouvons-nous affirmer que :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ mais que ces trois ensembles font la même taille (car dénombrables, car en bijection avec ℕ ) ?
Cela semble moins intuitif mais pouvons-nous aller jusqu'à dire que : ℝ ⊂ ℂ mais que ces deux ensembles sont eux aussi de même taille (car non dénombrables) ?
@nzau @oscarascal Oui tout à fait pour la première question. Finalement, tout dépend de la notion de "taille" qu'on prend, mais souvent on considère que tous les ensembles dénombrables ont la même taille.
Pour la deuxième question, il n'est pas vrai que tous les ensembles indénombrables ont la même taille. Si on continue sur la même façon de penser et qu'on compare deux ensembles indénombrables, la question à se poser est "Les ensembles en question sont-ils en bijection ?".
@nzau @oscarascal Par exemple, c'est assez intuitif de se dire que l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur ℝ sont indénombrables mais qu'ils ne sont pas en bijection.
Finalement pour ℂ on peut aussi prouver c'est en bijection avec ℝ² (l'ensemble des couples de réels), qui est bijection avec ℝ, donc que c'est ℂ est en bijection avec ℝ.
@erou À part ton premier exemple avec les fonctions à valeur réelle, tout me parait limpide, merci.
Prochaine étape, le théorème d'incomplétude :)
@nzau
Mon francais est terrible, mais check:
https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis about the possible sizes of infinite sets. It states:
There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers.
And it is undecidable, so we take it axiomatically to be true.
