Ещё примеров? Вот:

  1. не забудем, что любое кольцо является полукольцом. Так что все примеры колец подойдут.
  2. Однако лучше приведём пример полукольца, которое кольцом не является.
    Это система некоторых подмножеств множества X={a,b,c,d}, полукольцо
    𝑆={∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,b,c,d}}
    легко показать, что 𝑆 — полукольцо с единицей E=X
Show thread

Пожалуй, самым излюбленным (математиками) примером кольца является система всех подмножеств какого-то заданного множества.
Для небольшого множества X={a₁,a₂,a₃} это такая система:
{∅, {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₁,a₂}, {a₂,a₃}, {a₁,a₃}, {a₁,a₂,a₃}}
Эта система — кольцо, и она — алгебра с единицей E=X={a₁,a₂,a₃}

Show thread

Ещё более понятная книга,
“Упорядоченные множества” Беран Л. ,
доступная даже школьникам. Спасибо советским математикам!

Гомоморфизмом полурешётки 〈𝑆₀;•〉 в полурешётку 〈𝑆₁;•〉 называется отображение φ: 𝑆₀→ 𝑆₁, удовлетворяющее условию (a•b)φ = aφ•bφ. Так как решётка L=〈𝐿;⋀;⋁〉 является полурешёткой одновременно относительно операции ⋀ и относительно операции ⋁, то получаем два понятия гомоморфизма: нижний гомоморфизм (⋀-гомоморфизм) и верхний гомоморфизм (⋁-гомоморфизм). Гомоморфизмом решётки L называется отображение, которое одновременно является нижним и верхним гомоморфизмом.

Гомоморфизм φ из решётки L₀ в решётку L₁ — это отображение из L₀ в L₁, удовлетворяющее условиям (a⋀b)φ=aφ⋀bφ и (a⋁b)φ=aφ⋁bφ.

Гомоморфизм решётки в себя называется эндоморфизмом.

Взаимно однозначный гомоморфизм называется вложением.

Кроме того, для модулярных решёток равенство
(x⋀y) ⋁ (x⋀z) = x ⋀ (y⋁(x⋀z))
равносильно такому:
x≥y ⇒ (x⋀y) ⋁ z = x ⋀ (y⋁z)

Show thread

Неравенства, истинные на произвольной решётке:
(i) (x⋀y) ⋁ (x⋀z) ≤ x ⋀ (y⋁z)
(ii) x ⋁ (y⋀z) ≤ (x⋁y) ⋀ (x⋁z)
(iii) (x⋀y) ⋁ (y⋀z) ⋁ (z⋀x) ≤ (x⋁y) ⋀ (y⋁z) ⋀ (z⋁x)

(iv) (x⋀y) ⋁ (x⋀z) ≤ x ⋀ (y⋁(x⋀z))

Замечания: (i)—(iii) называются неравенствами дистрибутивности
(iv) неравенство модулярности

Если (i) выполняется, как тождество, то решётка нижне-дистрибутивна, если (ii) — тождество, то решётка верхне-дистрибутивна

Решётки L₀=〈𝐿₀;≤〉 и L₁=〈𝐿₁;≤〉 называются изоморфными (обозначение: L₀≅L₁), если существует взаимно однозначное отображение φ, называемое изоморфизмом, множества L₀ на множество L₁ такое, что
a≤b в L₀ ⇔ aφ≤bφ в L₁

Решётки L₀=〈𝐿₀;⋀;⋁〉 и L₁=〈𝐿₁;⋀;⋁〉 называются изоморфными (обозначение: L₀≅L₁), если существует взаимно однозначное отображение φ, называемое изоморфизмом, множества L₀ на множество L₁ такое, что
(a⋀b)φ = aφ⋀bφ
(a⋁b)φ = aφ⋁bφ

Изоморфизм решётки на себя называется автоморфизмом.

Очень хорошая, понятная книга,
“Общая теория решеток” Гретцер Г.
Книга

Свойства пересечения(⋀) и объединения (⋁):
a⋀b = inf{a,b}
a⋁b = sup{a,b}
(L1) Идемпотентность: a⋀a=a, a⋁a=a.
(L2) Коммутативность: a⋀b=b⋀a, a⋁b=b⋁a.
(L3) Ассоциативность: (a⋀b)⋀c=a⋀(b⋀c), (a⋁b)⋁c=a⋁(b⋁c).

Эквивалентное утверждение:
Ч.у.множество ( 𝐿;≤ ) есть решетка, если sup H и inf H существуют для любого непустого конечного подмножества H множества 𝐿

Show thread

ч.у.множество ( 𝐿;≤ ) называется решеткой, если
∀a,b∈𝐿 ∃sup{a,b}, inf{a,b}

Отношение порядка ( ≤ ):
(P1) Рефлексивность: a≤a.
(P2) Антисимметричность: a≤b, b≤a ⇒ a=b.
(P3) Транзитивность: a≤b, b≤c ⇒ a≤c.
Отношения, обладающие свойствами P1-P3 называются отношениями частичного порядка.
Множества, на которых задано отношение частичного порядка, называются частично-упорядоченными (ч.у.множествами).

Ещё одна книга,
“Действительный анализ в задачах” Ульянов П.Л.
Книга

Вот и примеры:

  1. мн-во полуинтервалов { [α,β) ⊆ [a,b) } — полукольцо с единицей E=[a,b)
  2. мн-во промежутков, т.е. интервалов, полуинтервалов или отрезков { {α,β} ⊆ [a,b] } — полукольцо с единицей E=[a,b]
  3. то же, что примеры 1 и 2 в пр-ве (ℝ^n), где
    {α,β}={α₁,β₁}✕{α₂,β₂}✕…✕{αn,βn}
  4. совокупность всех открытых множеств на прямой не является полукольцом

Show thread

Кольцо (𝘙) — такая система множеств, что

  1. 𝘙≠∅
  2. ∀𝘈,𝘉∈𝘙 ⇒ 𝘈∆𝘉∈𝘙, 𝘈∩𝘉∈𝘙

Кольцо с единицей называется Алгеброй

Единица E — это мн-во E∈𝘙 : ∀𝘈∈𝘙 ⇒ мн-во 𝘈⊆E (самое большое мн-во)

Полукольцо (𝑆) — такая система множеств, что

  1. ∅∈𝑆
  2. ∀𝘈,𝘉∈𝑆 ⇒ 𝘈∩𝘉∈𝑆
  3. ∀𝘈,𝘈₁∈𝑆 и 𝘈₁⊂𝘈 ⇒ ∃ конечное число 𝘈₂, …, 𝘈n∈𝑆, таких, что 𝘈₁∐𝘈₂∐ … ∐𝘈n=𝘈

однако, формулировки неаккуратные 😕

Show thread
ildar boosted
Show more