@PhilGastwirth
I guess that’s because the saturation gone over 100%
@vincent , why the site doesn’t show the saturation level?
I wonder if @QOTO instance is willing to be globally indexed/searched by https://www.tootfinder.ch/ ?
@freemo
“Что может быть проще, чем моноид? Только полугруппа”
😅
https://www.youtube.com/watch?v=TvFWjkp1Uv8&list=PL-_cKNuVAYAWNayB696aQFTPcP6HiIC1c
#математика
черновик FCA
@nergal , who told you that?
https://en.wikipedia.org/wiki/PDF#Licensing
I see no restrictions on the format.
Ещё примеров? Вот:
Пожалуй, самым излюбленным (математиками) примером кольца является система всех подмножеств какого-то заданного множества.
Для небольшого множества X={a₁,a₂,a₃} это такая система:
{∅, {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₁,a₂}, {a₂,a₃}, {a₁,a₃}, {a₁,a₂,a₃}}
Эта система — кольцо, и она — алгебра с единицей E=X={a₁,a₂,a₃}
#матпримеры
Ещё более понятная книга,
“Упорядоченные множества” Беран Л. ,
доступная даже школьникам. Спасибо советским математикам!
#моикниги #математика #решетки
#Def Гомоморфизмом полурешётки 〈𝑆₀;•〉 в полурешётку 〈𝑆₁;•〉 называется отображение φ: 𝑆₀→ 𝑆₁, удовлетворяющее условию (a•b)φ = aφ•bφ. Так как решётка L=〈𝐿;⋀;⋁〉 является полурешёткой одновременно относительно операции ⋀ и относительно операции ⋁, то получаем два понятия гомоморфизма: нижний гомоморфизм (⋀-гомоморфизм) и верхний гомоморфизм (⋁-гомоморфизм). Гомоморфизмом решётки L называется отображение, которое одновременно является нижним и верхним гомоморфизмом.
Гомоморфизм φ из решётки L₀ в решётку L₁ — это отображение из L₀ в L₁, удовлетворяющее условиям (a⋀b)φ=aφ⋀bφ и (a⋁b)φ=aφ⋁bφ.
Гомоморфизм решётки в себя называется эндоморфизмом.
Взаимно однозначный гомоморфизм называется вложением.
Кроме того, для модулярных решёток равенство
(x⋀y) ⋁ (x⋀z) = x ⋀ (y⋁(x⋀z))
равносильно такому:
x≥y ⇒ (x⋀y) ⋁ z = x ⋀ (y⋁z)
Неравенства, истинные на произвольной решётке:
(i) (x⋀y) ⋁ (x⋀z) ≤ x ⋀ (y⋁z)
(ii) x ⋁ (y⋀z) ≤ (x⋁y) ⋀ (x⋁z)
(iii) (x⋀y) ⋁ (y⋀z) ⋁ (z⋀x) ≤ (x⋁y) ⋀ (y⋁z) ⋀ (z⋁x)
(iv) (x⋀y) ⋁ (x⋀z) ≤ x ⋀ (y⋁(x⋀z))
Замечания: (i)—(iii) называются неравенствами дистрибутивности
(iv) неравенство модулярности
Если (i) выполняется, как тождество, то решётка нижне-дистрибутивна, если (ii) — тождество, то решётка верхне-дистрибутивна
Решётки L₀=〈𝐿₀;≤〉 и L₁=〈𝐿₁;≤〉 называются изоморфными (обозначение: L₀≅L₁), если существует взаимно однозначное отображение φ, называемое изоморфизмом, множества L₀ на множество L₁ такое, что
a≤b в L₀ ⇔ aφ≤bφ в L₁
Решётки L₀=〈𝐿₀;⋀;⋁〉 и L₁=〈𝐿₁;⋀;⋁〉 называются изоморфными (обозначение: L₀≅L₁), если существует взаимно однозначное отображение φ, называемое изоморфизмом, множества L₀ на множество L₁ такое, что
(a⋀b)φ = aφ⋀bφ
(a⋁b)φ = aφ⋁bφ
Изоморфизм решётки на себя называется автоморфизмом.
Очень хорошая, понятная книга,
“Общая теория решеток” Гретцер Г.
Книга
#моикниги #математика #решетки
Свойства пересечения(⋀) и объединения (⋁):
a⋀b = inf{a,b}
a⋁b = sup{a,b}
(L1) Идемпотентность: a⋀a=a, a⋁a=a.
(L2) Коммутативность: a⋀b=b⋀a, a⋁b=b⋁a.
(L3) Ассоциативность: (a⋀b)⋀c=a⋀(b⋀c), (a⋁b)⋁c=a⋁(b⋁c).
#решетки
Эквивалентное утверждение:
Ч.у.множество ( 𝐿;≤ ) есть решетка, если sup H и inf H существуют для любого непустого конечного подмножества H множества 𝐿
#Def Отношение порядка ( ≤ ):
(P1) Рефлексивность: a≤a.
(P2) Антисимметричность: a≤b, b≤a ⇒ a=b.
(P3) Транзитивность: a≤b, b≤c ⇒ a≤c.
Отношения, обладающие свойствами P1-P3 называются отношениями частичного порядка.
Множества, на которых задано отношение частичного порядка, называются частично-упорядоченными (ч.у.множествами).
#решетки
Вот и примеры: